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By Prof. Dr. Wilhelm Hort (auth.)

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I. f tegral a F = J f(x)dx u wenn die Figur durch ein Kurvenstiick, die x-Achse und die Ordinaten durch A und 0 begrenzt ist (Fig. 29). Eine Befahrung der Kurve ABO mit dem Integraphen A' B' 0', deren Endordinate b = 0' 0 1 ' gleich dem Flacheninhalt a F = J f(x)dx (1) () ist. II. Die Elemente d'Jh von 0'01 ' entsprechen den Elementen y dx von F. Durch Multiplikation der Elemente d y 1 mit a-x erhalt man die Elemente (a- x)dy 1 =(a- x)ydx Fig. 29. Ermittlung von Flacheninhalten und statischen Momenten.

Der Zusammenhang zwischen den Formeln des unbestimmten Integrals und der Differentialquotienten. Das unbestimmte Integral der Funktion f(x) lautete (§ 5) Jf(x) dx = F (x) +0 (1) Hier war die unbestimmte Konstante 0 beliebig wahlbar; sie kann also auch =Null gesetzt werden. Dagegen lautete der Differentialquotient der Funktion F (x) f(x) = H or t, Dlfferentialglelchungen. 2. Auf!. dF (x) dx (2) 2 18 Einleitung. Diese heiden Formeln stehen zueinander in der Beziehung der Umkehrung. Man erkennt dies, wenn man an der Formel (2) die durch Formel (1) angedeuteten Operation en vornimmt.

Differentiation der Tangensfunktion y (H) tg x. r 4. Die Arcussinusfunktion (4) y =arc sin a: hat zum Differenzenquotienten arcsin (x + J :r) -- arcsin x lx 1y 1x Nun folgt aus (4): :r ==sin y sin(y+,1y)~=x+ lx lx==csin(y also ist 1 y) · Rin y: /j Y Lfy /f x . d y) sin y 1 ·sin (y =I-_4_Jt) ~ sin :r 1y Die Ausfiihrung des Grenziiberganges liefer1. dy dx und wegen 1 cosy wird dy d arcsin x dx dx § 14. Bestimmung des Differentialquotienten der einfachen Funktionen. 4 7 5. Die Arcuscosinusfunktion (5) y =arccos x.

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